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微積分入門

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分類 : 微積分.

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微積分學(Calculus,拉丁語意為用來計數的小石頭) 是研究極限、微分學、積分學和無窮級數的一個數學分支,並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上,微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講,微積分學是一門研究變化的科學,正如幾何學是研究形狀的科學,代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。
微積分學在科學、經濟學和工程學領域有廣泛的應用,用來解決那些僅依靠代數學不能有效解決的問題。微積分學在代數學、三角學和解析幾何學的基礎上建立起來,並包括微分學、積分學兩大分支。微分學包括求導數的運算,是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學,包括求積分的運算,為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出,微分和積分互為逆運算,這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學,但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中,微積分學通常被稱為分析學,並被定義為研究函數的科學。
歷史
古代
古代數學的思想更傾向於積分,但是並不嚴格、系統。積分的其中一個任務,即計算體積和面積,可以從埃及的莫斯克紙莎草手卷中找到(c. 1820 BC),它的公式也十分簡單,沒有寫明方法,主要成分也殘缺不齊。積分的起源很早,古希臘時期歐多克索斯 (c. 408-355 BC)就用窮盡的方法來求特殊圖形面積的研究。阿基米德(c. 287-212 BC) 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率的近似值;也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。中國的劉徽在公元三世紀左右也應用窮盡法求圓的面積。在公元五世紀左右,祖沖之得出了計算球體積的算法,它也被稱之為卡瓦列里公式。
現代
發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」,另一個是「面積問題」。
文藝復興之後,基於實際的需要及理論的探討,積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便,傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法,使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。在歐洲,基礎性的論證來自博納文圖拉·卡瓦列里,他認為體積和面積應該用求無窮小橫截面的總量來計算。他的想法類似於阿基米德的《方法論》,但是卡瓦列里的手稿丟失了,直到20世紀初期再被找到。卡瓦列里的努力沒有得到認可,因為他的方法的誤差巨大,而且在當時無窮小也不受重視。
17世紀的前半是微積分學的醞釀時期,觀念在摸索中,計算是個別的,應用也是個別的。而後戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟,澄清微、積分之間的關係,使計算系統化,並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。
在他們創立微積分以前,人們把微分和積分視為獨立的學科,之後才確實劃分出「微積分學」這門學科。
在對微積分的正式研究中,皮埃爾·德·費馬聲稱他借用了丟番圖的成就,引入了「足量」概念,等同於誤差的無窮小。可惜他未能體會兩者之間的密切關係。約翰·沃利斯、伊薩克·巴羅和詹姆士·格里高利完成了組合論證。而牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道兩者之間有互逆的關係,但他不能體會此種關係的意義,其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響:一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學,代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題,這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心,而另一方面代數方法仍然未臻成熟,實數系統遲遲未能建立,所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法,巴羅便是其中之一。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法,可是他遲遲未敢發表。牛頓利用了微積分的技巧,由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系,解決天體運動,流體旋轉的表面,地球的扁率,擺線上重物的運動等問題。牛頓在解決數學物理問題時,使用了獨特的符號來進行計算,實際上這些就是乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數和解析方程。但因害怕當時人的批評,所以在他1687年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把微積分的痕跡抹去,而以古典的幾何論證方式論述。在其它著作中,牛頓使用了分數和無理數的乘冪,很明顯,牛頓知道泰勒級數的定律。但是他沒有發表這些發現,因為無窮小在當時仍然飽受爭議。
上述思想被戈特弗里德·威廉·萊布尼茨整合成為真正的無窮小版本的微積分,而牛頓指責前者抄襲。萊布尼茨在今天被認為是獨立發明微積分的另一人。他的貢獻在於風格嚴密,便於計算二次或更高級別的導數,以微分和積分的形式給出乘積法則和鏈式法則。與牛頓不同,萊布尼茨很注重形式,常常日復一日地研究妥當的符號。
萊布尼茨和牛頓都被認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中,而萊布尼茨製作了今天絕大多數的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本方法,二階或更高階導數,數列近似值符號等。在牛頓的時代,微積分基本公式已經被世界知曉。
當牛頓和萊布尼茨第一次發表各自的成果時,數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發一場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論,而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中抄襲,這個觀點得到了牛頓所在的皇家學會支持。這場大紛爭將使數學家分成兩派:一派是英國數學家,捍衛牛頓;另一派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後的小心求證得出牛頓和萊布尼茨兩人獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導,牛頓從微分推導。在今天,牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立作者。「微積分」之名與其使用之運算符號則是萊布尼茨所創。而牛頓將它稱為「流數術」
微積分實際被許多人不斷地完善,也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。最早的一部完整的有關有限和無窮小的分析著作被瑪利亞·阿涅西於1748年總結編訂。
牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化,但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題,卻使得十八世紀的數學家偏向其應用,而少致力於其嚴謹。當時,微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家,如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來,所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論,使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中,微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程,而邁向更高深的解析學。
基礎
在微積分中,「基礎」意味將一個科目從公理和定義中嚴格地推導出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的,遭到了一系列作者的嚴厲批評,特別是米歇爾·羅爾和喬治·貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《論分析》中將無窮小描述為「偏激的妖怪數量」而著名。最近的分析認為萊布尼茨版微積分更加嚴密,經得住貝克萊的經驗主義的攻擊。為微積分的嚴密論證奠基成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作,直至今日仍是研究的熱點領域。
一些數學家,包括科林·麥克勞林,試圖利用無窮小來進行證明,但直到150多年之後才得以成功。在奧古斯丁·路易·柯西和卡爾·魏爾斯特拉斯的努力之下,終於實現對無窮小的符號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中,我們看到了大量的基礎論證,包括通過連續來對無窮小進行定義,和用以定義微分的一個不太精確的-極限定義版本。魏爾斯特拉斯推導總結了極限概念,迴避了無窮小。繼魏爾斯特拉斯之後,微積分就常以極限作為基礎,而非無窮小了。波恩哈德·黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期,微積分這一概念被綜合成為歐幾里得空間和複平面。
在現代數學裡,微積分基礎包括了實變函數論,後者包括了對微積分理論的完全數學證明。微積分的範圍被大大拓寬了。昂利·勒貝格發明了測度,用它來定義所有積分。洛朗·施瓦茨研究了數學分佈 (數學分析),可以用其求得任意方程的導數。
極限不是對微積分基礎的唯一推導,如使用亞伯拉罕·羅賓遜的非標準分析進行推導。羅賓遜在1960年左右所做的推導襲承了牛頓--萊布尼茨的最初概念,應用數理邏輯的方式將實數系統擴大到了無窮小和無限數量。所得出的結果為超實數,可以套用萊布尼茨式的微積分法則。
重要性
早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本,但現代微積分來自於歐洲。17世紀時,艾薩克·牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基礎上推導出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。
微分應用包括極端速度、加速度、曲線斜率、最優化等。積分應用包括面積、體積、弧長、質心、做功、壓力。更高級的應用包括冪級數和傅里葉級數等。
微積分為更加精確地理解空間、時間和運動的本質提供了便利。幾個世紀以來,數學家和哲學家都為除以零或無限這一悖論而大為苦惱。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾為該悖論舉出了幾個著名的例子。微積分,特別是極限和無窮級數,為解決該悖論提供了工具。

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微積分入門

ACNO C001726
索書號 314.1 0023
複本總數 1
館藏位置 Library
借閱分類 BOOK
ISBN
出版商 牛頓
出版年份 1987
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語言 中文
科目 微積分.
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