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談談數學中的無限

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副標題 :

作者 : 谷超豪

分類 : 級數.

關鍵字 :

數學(Mathematics)是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間等概念的一門學科,屬於形式科學的一種。藉助語言闡述關係(如數量、結構、前後變化等關係)的學科,透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。(注意:公式不僅僅涉及到數量的關係,也涉及到性質的關係)。

基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見。從那時開始,其發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因為新的科學發現相作用而產生的數學革新導致了知識的加速發展,直至今日。

今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學,就是數學本身,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其過程中也發現許多應用之處。
數學(Mathematics)是利用符號語言研究數量[1]、結構[2]、變化[3][4]以及空間等概念的一門學科,屬於形式科學的一種。藉助語言闡述關係(如數量、結構、前後變化等關係)的學科,透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。(注意:公式不僅僅涉及到數量的關係,也涉及到性質的關係)。

基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見。從那時開始,其發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因為新的科學發現相作用而產生的數學革新導致了知識的加速發展,直至今日。

今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學,就是數學本身,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其過程中也發現許多應用之處。
詞源
西方語言中「數學」(英語:mathematics;希臘語:μαθηματικ?)一詞源自於古希臘語的μ?θημα(math?ma),其有學習、學問、科學,以及另外還有個較狹意且技術性的意義-「數學研究」,即使在其語源內。其形容詞μαθηματικ??(math?matikos),意義為和學習有關的或用功的,亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的複數形式,及在法語中的表面複數形式les mathematiques,可溯至拉丁文的中性複數mathematica,由西塞羅譯自希臘文複數τα μαθηματικ?(ta math?matika),此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。

「數學」一詞的大約產生於宋元時期。多指象數之學,但有時也含有今天上的數學意義,例如,秦九韶的《數學九章》(《永樂大典》記,即《數書九章》也被宋代周密所著的《癸辛雜識》記?《數學大略》)、《數學通軌》(明代柯尚遷著)、《數學鑰》(清代杜知耕著)、《數學拾遺》(清代丁取忠撰), 直到1939年,經過中國數學名詞審查委員會研究「算學」與「數學」兩詞的使用狀況後,確認以「數學」表示今天意義上的數學含義。

歷史
數學有?久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動;中國古代的六藝之一就有「數」,數學一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικ??(mathematikos),意思是「學問的基礎」,源於μ?θημα(mathema,「科學,知識,學問」)。

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係,如時間-日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑及泥版亦證實了當時已有幾何的知識。

更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統,如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多不同的記數系統。

 
瑪雅數字從歷史時代的一開始,數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算,為了解數字間的關係,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。

到了16世紀,算術、初等代數以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變量概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換,微積分的概念也在此時形成。隨?自然科學和技術的進一步發展,為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

從古至今,數學便一直不斷地延展,且與科學有豐富的相互作用,並使兩者都得到好處。數學在歷史上有?許多的發現,並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說,「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份,而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」

形成、純數學與應用數學及美學
主條目:數學之美
數學出現於包含?數量、結構、空間及變化等困難問題內。一開始,出現於貿易、土地測量及之後的天文學。今日,所有的科學都存在?值得數學家研究的問題,且數學本身亦存在了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發明者,費曼發明了費曼路徑積分,來用於推理及物理的洞察,而今日的弦理論亦生成為新的數學。一些數學只和生成它的領域有關,且用來解答此領域的更多問題。但一般被一領域生成的數學在其他許多領域內也十分有用,且成為數學概念的一般知識。即使是「最純的」數學通常亦有實際的用途,此一卓越的事實,被1963年諾貝爾物理獎得主維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」。

如同大多數的研究領域,科學知識的爆發導致了數學的專業化。主要的分歧為純數學和應用數學。在應用數學內,又被分成兩大領域,並且變成了它們自身的學科——統計學和電腦科學。

許多數學家談論數學的優美,其內在的美學及美。「簡單」和「一般化」即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明,如歐幾里得對存在無限多質數的證明,及加快計算的數值方法,如快速傅立葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在《一個數學家的自白》一書中表示其所相信的美學思維足夠使其進行純數學的研究。

符號、語言與精確性
主條目:數學符號
 
)我們現今所使用的大部分數學符號在16世紀後才被發明出來的。在此之前,數學以文字的形式書寫出來,這種形式會限制了數學的發展。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作,但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮:少量的符號包含?大量的訊息。如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。

數學語言亦對初學者而言感到困難。如「或」和「只」這些字有?比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的,如「開放」和「域」等字在數學裏有?特別的意思。數學術語亦包括如「同胚」及「可積性」等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。

嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」,依著不可靠的直觀,而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因?時間而不同:希臘人期許著仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日,數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時,其證明亦很難說是有效地嚴謹。

公理在傳統的思想中是「不證自明的真理」,但這種想法是有問題的。在形式上,公理只是一串符號,其只對可以由公理系統導出的公式之內容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數學放在堅固的公理基礎上,但依據哥德爾不完備定理,每一不相矛盾的公理系統必含有一不可決定的公式;因而所有數學的最終公理化是不可能的。然而數學常常被想像成只是一些公理化的集合論,在此意義下,所有數學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。

數學作為科學
卡爾·弗里德里希·高斯稱數學為「科學之母」。其拉丁原文為Regina Scientiarum,而其德語為Konigin der Wissenschaften(原意:科學的皇后),其對應於科學的單字意思為知識。而實際上,科學science在英語內的原文內也是這個意思,且無疑問地數學確實一門在此意思下的「科學」。將科學限定在自然科學則是在此之後的事。若認為科學是只指物理的世界時,則數學,至少是純數學不會是一門科學。愛因斯坦曾這樣描述著:「數學定律越和現實有關,它們越不確實;若它們越是確定的話,它們和現實越不會有關。」

許多哲學家相信數學在經驗上不具可否證性,且因此不是卡爾·波普爾所定義的科學。但在1930年代時,在數學邏輯上的重大進展顯示數學不能歸併至邏輯內,且卡爾·波普爾推斷「大部份的數學定律,如物理及生物學一樣,是假設演繹的:純數學因此變得更接近其假設為猜測的自然科學,比它現在看起來更接近。」然而,其他的思想家,如較著名的拉卡托斯,便提供了一個關於數學本身的可否證性版本。

另一觀點則為某些科學領域(如理論物理)是其公理為嘗試?符合現實的數學。而事實上,理論物理學家齊曼即認為科學是一種公眾知識且因此亦包含?數學。在任何的情況下,數學和物理科學的許多領域都有?相同的地方,尤其是在假設的邏輯推論的探索。直覺和實驗在數學和科學的猜想建構上皆扮演?重要的角色。實驗數學在數學中的重要性正持續地在增加,且計算(英語:computation)和模擬在科學及數學中所扮演的角色也越來越加重,減輕了數學不使用科學方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的書籍一種新科學中提出,計算數學應被視為其自身的一科學領域來探索。

數學家對此的態度並不一致。一些研究應用數學的數學家覺得他們是科學家,而那些研究純數學的數學家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領域內工作,且因此基本上是個哲學家。許多數學家認為稱他們的工作是一種科學,是低估了其美學方面的重要性,以及其做為七大博雅教育之一的歷史;另外亦有人認為若忽略其與科學之間的關聯,是假裝沒看到數學和其在科學與工程之間的交界導致了許多在數學上的發展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學上產生了數學是被創造(如藝術)或是被發現(如科學)的爭議。大學院系劃分中常見「科學和數學」系,這指出了這兩個領域被看作同盟而非同一。實際上,數學家基本上會在大體上與科學家合作,但在細節上卻會分開。這亦是數學哲學眾多議題的其中之一個議題。

數學獎通常和其他科學的獎項分開。數學上最有名的獎為菲爾茲獎,創立於1936年,每四年頒獎一次。它通常被認為是數學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎,創立於2003年。兩者都頒獎於特定的工作主題,包括數學新領域的創新或已成熟領域中未解決問題的解答。著名的23個問題,稱為希爾伯特的23個問題,於1900年由德國數學家大?·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數學家之間有?極高的名望,且至少有九個問題已經被解答了出來。另一新的七個重要問題,稱為千禧年大獎難題,在2000年發表出來。每一個問題的解答都有?一百萬美元的獎金,只有一個問題(黎曼猜想)和希爾伯特的問題重複。

數學的各領域[編輯] 
早期的數學完全?重在演算實際運算的需要上,有如反映在中國算盤上的一般。如同上面所述一般,數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連?。除了上述主要的關注之外,亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。

基礎與哲學[編輯]為了搞清楚數學基礎,數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。

數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論,且和理論電腦科學有?密切的關連性,千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論電腦科學中的著名問題。

卡爾·弗里德里希·高斯稱數學為「科學之母」。其拉丁原文為Regina Scientiarum,而其德語為Konigin der Wissenschaften(原意:科學的皇后),其對應於科學的單字意思為知識。而實際上,科學science在英語內的原文內也是這個意思,且無疑問地數學確實一門在此意思下的「科學」。將科學限定在自然科學則是在此之後的事。若認為科學是只指物理的世界時,則數學,至少是純數學不會是一門科學。愛因斯坦曾這樣描述著:「數學定律越和現實有關,它們越不確實;若它們越是確定的話,它們和現實越不會有關。」

許多哲學家相信數學在經驗上不具可否證性,且因此不是卡爾·波普爾所定義的科學。但在1930年代時,在數學邏輯上的重大進展顯示數學不能歸併至邏輯內,且卡爾·波普爾推斷「大部份的數學定律,如物理及生物學一樣,是假設演繹的:純數學因此變得更接近其假設為猜測的自然科學,比它現在看起來更接近。」然而,其他的思想家,如較著名的拉卡托斯,便提供了一個關於數學本身的可否證性版本。

另一觀點則為某些科學領域(如理論物理)是其公理為嘗試?符合現實的數學。而事實上,理論物理學家齊曼即認為科學是一種公眾知識且因此亦包含?數學。[24]在任何的情況下,數學和物理科學的許多領域都有?相同的地方,尤其是在假設的邏輯推論的探索。直覺和實驗在數學和科學的猜想建構上皆扮演?重要的角色。實驗數學在數學中的重要性正持續地在增加,且計算(英語:computation)和模擬在科學及數學中所扮演的角色也越來越加重,減輕了數學不使用科學方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的書籍一種新科學中提出,計算數學應被視為其自身的一科學領域來探索。

數學家對此的態度並不一致。一些研究應用數學的數學家覺得他們是科學家,而那些研究純數學的數學家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領域內工作,且因此基本上是個哲學家。許多數學家認為稱他們的工作是一種科學,是低估了其美學方面的重要性,以及其做為七大博雅教育之一的歷史;另外亦有人認為若忽略其與科學之間的關聯,是假裝沒看到數學和其在科學與工程之間的交界導致了許多在數學上的發展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學上產生了數學是被創造(如藝術)或是被發現(如科學)的爭議。大學院系劃分中常見「科學和數學」系,這指出了這兩個領域被看作同盟而非同一。實際上,數學家基本上會在大體上與科學家合作,但在細節上卻會分開。這亦是數學哲學眾多議題的其中之一個議題。

數學獎通常和其他科學的獎項分開。數學上最有名的獎為菲爾茲獎,創立於1936年,每四年頒獎一次。它通常被認為是數學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎,創立於2003年。兩者都頒獎於特定的工作主題,包括數學新領域的創新或已成熟領域中未解決問題的解答。著名的23個問題,稱為希爾伯特的23個問題,於1900年由德國數學家大?·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數學家之間有?極高的名望,且至少有九個問題已經被解答了出來。另一新的七個重要問題,稱為千禧年大獎難題,在2000年發表出來。每一個問題的解答都有?一百萬美元的獎金,只有一個問題(黎曼猜想)和希爾伯特的問題重複。

數學的各領域
早期的數學完全?重在演算實際運算的需要上,有如反映在中國算盤上的一般。如同上面所述一般,數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連?。除了上述主要的關注之外,亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。

基礎與哲學[編輯]為了搞清楚數學基礎,數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。

數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論,且和理論電腦科學有?密切的關連性,千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論電腦科學中的著名問題。


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談談數學中的無限

ACNO C004208
索書號 313.9 8060
複本總數 1
館藏位置 Library
借閱分類 BOOK
ISBN 957-694-131-8
出版商 凡異
出版年份 1994
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小說 N
語言 中文
科目 級數.
購買日期 1998-09-06
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出版年份 2000
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